Question

若函数g（x）=x³-ax²+1在区间[1，2]上是单调递减函数，则实数a的取值范围是

a≥3

．

Answer 1

分析：求出函数的导函数，由函数g（x）=x³-ax²+1在区间[1，2]上是单调递减函数，所以以g^′（x）=3x²-2ax≤0在x∈[1，2]上恒成立，分离变量后利用函数的单调性求实数a的范围．

解答：解：由g（x）=x³-ax²+1，所以g^′（x）=3x²-2ax，
因为 g（x）=x³-ax²+1在区间[1，2]上是单调递减函数，
所以以g^′（x）=3x²-2ax≤0在x∈[1，2]上恒成立．
即2ax≥3x²，a≥

3

2

x在x∈[1，2]上恒成立．
因为函数y=

3

2

x在x∈[1，2]上为增函数，所以ymax=

3

2

×2=3．
所以a≥3．
故答案为a≥3．

点评：本题考查了函数的单调性与函数的导函数的关系，训练了利用分离变量法求参数的范围，考查了利用函数的单调性求函数的最值，是基础题．