Question

【题目】设f（n）=（1+ ）n﹣n，其中n为正整数．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）猜想满足不等式f（n）＜0的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（n）=（1+ ）n﹣n，

∴f（1）=1，f（2）= ﹣2= ，f（3）= ﹣3= ﹣3=﹣

（2）解：猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，

证明：①当n=3时，f（3）=﹣ ＜0成立，

②假设当n=k（n≥3，n∈N+）时猜想正确，即f（k）= ﹣k＜0，

∴ ＜k，

则当n=k+1时，

由于f（k+1）= = （1+ ）＜ （1+ ）

＜k（1+ ）=k+ ＜k+1，

∴ ＜k+1，即f（k+1）= ﹣（k+1）＜0成立，

由①②可知，对n≥3，f（n）=（n）=（1+ ）n﹣n＜0成立

【解析】（1）由f（n）=（1+ ）n﹣n，可求得f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，再利用数学归纳法证明即可：①当n=3时，f（3）=﹣ ＜0成立；②假设当n=k（n≥3，n∈N+）时猜想正确，即 ﹣k＜0，去证明当n=k+1（n≥3，n∈N+）时，f（k+1）= ﹣（k+1）＜0也成立即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式，以及对数学归纳法的定义的理解，了解数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．