Question

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）设E为BC的中点，求

AE

与

DB

夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）翻折后，直线AD与直线DC、DB都垂直，可得直线与平面BDC垂直，再结合AD是平面ADB内的直线，可得平面ADB与平面垂直；
（Ⅱ）以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求出D、B、C、A、E的坐标，从而得出向量

AE

、

DB

的坐标，最后根据空间向量夹角余弦公式，计算出

AE

与

DB

夹角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ADB
∴平面ADB⊥平面BDC
（Ⅱ）由∠BDC=90°及（Ⅰ）知DA，DB，DC两两垂直，
不防设|DB|=1，以D为坐标原点，
分别以

DB

、

DC

、

DA

所在直线x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，3，0），
A（0，0，

3

），E（

1

2

，

3

2

，0），
∴

AE

=(

1

2

，

3

2

，-

3

)，

DB

=（1，0，0），
∴

AE

与

DB

夹角的余弦值为
cos＜

AE

，

DB

＞=

AE • DB

| AE |•| DB |

=

1 2

1× 22 4

=

22

22

．

点评：图中DA、DB、DC三条线两两垂直，以D为坐标原点建立坐标系，将空间的几何关系的求解化为代数计算问题，使立体几何的计算变得简单．