Question

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f ^－1（x）能确定数列{b_n}，b_n= f ^–1（n），若对于任意nÎN^*，都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反数列”.

   （1）若函数f（x）=确定数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；

   （2）已知正数数列{c_n}的前n项之和S_n=（c_n+）.写出S_n表达式，并证明你的结论；

   （3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，当n≥2时，设d_n=，D_n是数列{d_n}的前n项之和，且D_n>log _a （1－2a）恒成立，求a的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）a_n=

（2）S_n=，证明略

（3）0<a<–1

【解析】解：（1）由题意的：f ^－1（x）== f（x）=，所以p =－1，…………2分

所以a_n=……………………………………………………………………3分翰林汇

（2）因为正数数列{c_n}的前n项之和S_n=（c_n+），

所以c₁=（c₁+），解之得：c₁=1，S₁=1……………………………………4分

当n ≥ 2时，c_n = S_n–S_n–1，所以2S_n = S_n–S_n–1 +，……………………5分

S_n +S_n–1 = ，即：= n，……………………………………7分

所以，= n–1，= n–2，……，=2，累加得：

=2+3+4+……+ n，………………………………………………9分

=1+2+3+4+……+ n =，

S_n=………………………………………………………………10分

（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，

当n≥2时，设d_n===2（），…………………13分

由D_n是{d_n}的前n项之和，

D_n=d₁+d₂+……+d_n=2[1+（）+（）+（）+……+（）]

=2（2–）………………………………………………………………………………16分

因为D_n>log _a （1–2a）恒成立，即log _a （1–2a）恒小于D_n的最小值，

显然D_n的最小值是在n=1时取得，即（D_n）_min=2，

所以log _a （1–2a）<2，1–2a>0，所以0<a<–1…………………………………18分