Question

15．已知四棱锥P-ABCD中底面四边形ABCD是正方形，各侧面都是边长为2的正三角形，M是棱PC的中点．建立空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：
（1）求证：PA∥平面BMD；
（2）求二面角M-BD-C的平面角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD交于点O，连结OP，以O为原点，$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OP}$分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能证明PA∥平面BMD．
（2）求出平面ABCD的法向量和平面MBD的法向量，利用向量法能求出二面角M-BD-C的平面角．

解答 证明：（1）连结AC、BD交于点O，连结OP．…（1分）
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∵PA=PC，∴OP⊥AC，
同理OP⊥BD，…（2分）
以O为原点，$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OP}$分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，

$P（0，0，\sqrt{2}），A（\sqrt{2}，0，0），B（0，\sqrt{2}，0），M（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，…（3分）
$\overrightarrow{PA}=（\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}），\overrightarrow{OB}=（0，\sqrt{2}，0），\overrightarrow{OM}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，…（4分）
平面BMD的法向量为$\overrightarrow n=（1，0，1）$，
∵$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow n=0$，$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow n$，又PA?平面BMD，…（5分）
∴PA∥平面BMD．…（6分）
解：（2）平面ABCD的法向量为$\overrightarrow a=（0，0，1）$…（7分）
平面MBD的法向量为$\overrightarrow b=（x，y，1）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}y=0\\-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=1\end{array}\right.$，…（8分）
∴$\overrightarrow b=（1，0，1）$…（9分）
二面角M-BD-C的平面角为α，
则$cosα=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，α=45°，…（11分）
∴二面角M-BD-C的平面角45°．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．