Question

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。

 

Answer 1

【答案】

证明：见解析

【解析】考查放缩法在证明不等式中的应用，本题在在用缩法时多次用到基本不等式，请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理，并与利用基本不等式求最值再据最值成立的条件求参数题型比较．深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑，什么时候可以不考虑．

证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件，因等号不成立不影响不等号的传递性．

证法二：先用基本不等式推出a²+b²+c²≥ab+bc+ac与 1a² +1 b² +1c² ≥1 ab +1 bc +1 ac

两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法．其本质与证法一同．

证明：（证法一）

因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

                     ①

所以                   ②        

故.

又       ③

所以原不等式成立.                                

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，

③式等号成立。

即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。

（证法二）

因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

所以               ①

同理            ②               

故

         ③

所以原不等式成立.                            

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。

即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。