Question

1．设数列{a_n}的前项n和为S_n，若对于任意的正整数n都有S_n=2a_n-3n．
（1）设b_n=a_n+3，求证：数列{b_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式．
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得：a_n+1=2a_n+3，变形为a_n+1+3=2（a_n+3），即b_n+1=3b_n．即可证明．
（2）利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：由已知S_n=2a_n-3n．n=1时，a₁=2a₁-3，解得a₁=3．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-3n-[2a_n-1-3（n-1）]．
∴a_n+1=2a_n+3，变形为a_n+1+3=2（a_n+3），即b_n+1=3b_n．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为6，公比为2．
∴b_n=a_n+3=6×2^n-1，解得a_n=3×2ⁿ-3．
（2）解：na_n=3n×2ⁿ-3n．
设数列{n•2ⁿ}的前n项和为A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴数列{na_n}的前n项和T_n=（3n-3）•2ⁿ⁺¹+6-$\frac{3n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．