【题目】已知椭圆与直线都经过点.直线与平行,且与椭圆交于两点,直线与轴分别交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明: 为等腰三角形.
【答案】(1) ;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)将点M分别代入直线方程及椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;
(2)设直线m的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式求得kMA+kMB=0,即可求得△MEF为等腰三角形.
试题解析:
(1)由直线都经过点,则a=2b,将代入椭圆方程: ,解得:b2=4,a2=16,椭圆的方程为。
(2)设直线为: ,
联立: ,得
于是
设直线的斜率为,要证为等腰三角形,只需
,
,
,
,
所以为等腰三角形.
点睛: 本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,直线的斜率公式,考查计算能力,证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之和为0是关键.
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【题目】关于函数,有下列结论:
①的定义域为(-1, 1); ②的值域为(, );
③的图象关于原点成中心对称; ④在其定义域上是减函数;
⑤对的定义城中任意都有.
其中正确的结论序号为__________.
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【题目】已知为圆上一动点,圆心关于轴的对称点为,点分别是线段上的点,且.
(1)求点的轨迹方程;
(2)直线与点的轨迹只有一个公共点,且点在第二象限,过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点,求面积的取值范围.
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【题目】已知函数,函数.
Ⅰ若函数在和上单调性相反,求的解析式;
Ⅱ若,不等式在上恒成立,求a的取值范围;
Ⅲ已知,若函数在区间内有且只有一个零点,试确定实数a的范围.
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【题目】为了了解某学段1000名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干学生的百米成绩,成绩全部介于13秒与18秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组[13,14);第二组[14,15);…;第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如右图所示,已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3:8:19,且第二组的频数为8.
(1)将频率当作概率,请估计该学段学生中百米成绩在[16,17)内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数(精确到0.01秒);
(2)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.
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【题目】在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB= ,AA1=2,设四棱柱的外接球的球心为O,动点P在正方形ABCD的边上,射线OP交球O的表面于点M,现点P从点A出发,沿着A→B→C→D→A运动一次,则点M经过的路径长为( )
A.
B.2 π
C.
D.4 π
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【题目】重庆一中为了增强学生的记忆力和辨识力,组织了一场类似《最强大脑》的赛,两队各由4名选手组成,每局两队各派一名选手,除第三局胜者得2分外,其余各局胜者均得1分,每局的负者得0分.假设每局比赛队选手获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,比赛结束时队的得分高于队的得分的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若 且sinC=cosA (Ⅰ)求角A、B、C的大小;
(Ⅱ)函数f(x)=sin(2x+A)+cos(2x﹣ ),求函数f(x)单调递增区间,指出它相邻两对称轴间的距离.
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