Question

11．已知cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin（α-β）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，且α、β∈（0，$\frac{π}{2}$）．求：
（Ⅰ）cos（2α-β）的值；  
（Ⅱ）β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由α，β的范围求出α-β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α-β），由两角和的余弦公式求出cos（2α-β）=cos[（α-β）+α]的值；
（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cosβ=cos[α-（α-β）]的值，再由β的范围求出β的值．

解答 解：（Ⅰ）解：∵$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，∴α-β∈（$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∵$cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$sin（α-β）=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sinα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（2α-β）=cos[（α-β）+α]=cos（α-β）cosα-sin（α-β）sinα
=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
cosβ=cos[α-（α-β）]=cos（α-β）cosα+sin（α-β）sinα
=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵$β∈（0，\frac{π}{2}）$，∴β=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，注意角之间的关系以及三角函数值的符号，属于中档题．