Question

例4．已知数列{a_n}中，a₁=3，对于nN，以a_n，a_n+1为系数的一元二次方程a_nx²-2 a_n+1x+1=0
都有根α、β且满足（α-1）（β-1）=2．
（1）求证数列{an-

1

3

}是等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据韦达定理可知α+β=

2an+1

an

，αβ=

1

an

，代入（α-1）（β-1）=2中整理得a_n-

1

3

=-2（a_n+1-

1

3

），进而可判定数列{an-

1

3

}是等比数列．
（2）由（1）可求得数列{an-

1

3

}的首项和公比，可求得数列{an-

1

3

}的通项公式，进而求得a_n．

解答：解：（1）证明：依题意可知α+β=

2an+1

an

，αβ=

1

an

∴（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=

1

an

-

2an+1

an

+1=2
整理得a_n-

1

3

=-2（a_n+1-

1

3

），a₁-

1

3

=

8

3

∴数列{an-

1

3

}是以

8

3

为首项，-

1

2

为公比的等比数列．
（2）由（1）知a_n-

1

3

=

8

3

×（-

1

2

）^n-1，
∴a_n=

8

3

×（-

1

2

）^n-1+

1

3

．

点评：本题主要考查了等比数列的性质和等比关系的确定．考查了学生对等比数列的定义和通项公式的理解和把握．