Question

7．设实数x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x-y+1≥0}\\{2x+y-1≥0}\end{array}}\right.$目标函数z=x+ay取最大值时有无穷多个最优解，则a=0．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
若a=0，则x=z，此时满足条件最大值时有无穷多个最优解，此时a=0，
若a＞0，
由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
若a＞0，∴目标函数的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0．
平移直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
由图象可知当直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$和直线AB：x+y=5平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时不满足条件，
若a＜0，∴目标函数的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0．
平移直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
由图象可知直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，取得最大值的点只有一个，此时不满足条件，
综上a=0，
答案为：0

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．