Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项的和，且对于任意的n∈N^*，都有4S_n=（a_n+1）²．
（1）求a₁，a₂的值和数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列b_n=

1

an•an+1

的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推关系式求数列的项，进一步求出数列的通项公式．
（2）根据求出的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和．

解答： 解：（1）已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项的和，且对于任意的n∈N^*，
都有4S_n=（a_n+1）²①．
所以：当n=1时，4S1=(a1+1)2
解得：a₁=1
当n=2时，4S2=(a2+1)2
解得：a₂=3
当n≥2时，4Sn-1=(an-1+1)2②
所以：①-②得：4an2=(an+1)2-(an-1+1)2
整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0=0
所以：a_n-a_n-1=2                
{a_n}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列
a_n=2n-1                                             
（2）根据（1）的结论b=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和．属于基础题型．