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【题目】(本小题满分16分)已知函数处的切线方程为

(1)若= ,求证:曲线上的任意一点处的切线与直线和直线

围成的三角形面积为定值;

(2)若,是否存在实数,使得对于定义域内的任意都成立;

(3)在(2)的条件下,若方程有三个解,求实数的取值范围.

【答案】(1)详见解析(2)

【解析】试题分析:

试题解析:根据导数的几何意义, 为切线的斜率,解出,写出的切线方程求出三角形的面积为定值.利用求出假设存在m,k满足题意,则式子对定义域任一恒成立,解出;代入的值使方程有三个解,化为 =|x|(x﹣1),画出的图象,要求﹣ 0,解出的范围.

证明:(1)因为 f′(x)=

所以 f′(3)=

g(x)=f(x+1)=ax+

g(x)图象上任意一点P(x0,y0)因为 g′(x)=a﹣

所以切线方程为y﹣(ax0+)=(a﹣)(x﹣x0

x=0 y=再令y=ax x=2x0

故三角形面积S=|||2x0|=4,

即三角形面积为定值.

(2)由f(3)=3a=1,f(x)=x+ ﹣1假设存在m,k满足题意,

则有x﹣1++m﹣x﹣1+=k

化简,得 对定义域内任意x都成立,

故只有 解得

所以存在实数m=2,k=0使得f(x)+f(m﹣k)=k对定义域内的任意都成立.

(3)由题意知,x﹣1+=t(x2﹣2x+3)|x|

因为x0,且x1化简,得 t=

=|x|(x﹣1),

如图可知,﹣ 0,

所以t﹣4即为t的取值范围.

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