【题目】(本小题满分16分)已知函数在处的切线方程为
(1)若= ,求证:曲线上的任意一点处的切线与直线和直线
围成的三角形面积为定值;
(2)若,是否存在实数,使得对于定义域内的任意都成立;
(3)在(2)的条件下,若方程有三个解,求实数的取值范围.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】试题分析:
试题解析:根据导数的几何意义, 为切线的斜率,解出,写出的切线方程求出三角形的面积为定值.利用求出,假设存在m,k满足题意,则式子对定义域任一恒成立,解出;代入的值使方程有三个解,化为 =|x|(x﹣1),画出的图象,要求﹣ < <0,解出的范围.
证明:(1)因为 f′(x)=
所以 f′(3)= ,
又 g(x)=f(x+1)=ax+ ,
设g(x)图象上任意一点P(x0,y0)因为 g′(x)=a﹣ ,
所以切线方程为y﹣(ax0+)=(a﹣)(x﹣x0)
令x=0 得y=; 再令y=ax得 x=2x0,
故三角形面积S=|||2x0|=4,
即三角形面积为定值.
(2)由f(3)=3得a=1,f(x)=x+ ﹣1假设存在m,k满足题意,
则有x﹣1++m﹣x﹣1+=k
化简,得 对定义域内任意x都成立,
故只有 解得
所以存在实数m=2,k=0使得f(x)+f(m﹣k)=k对定义域内的任意都成立.
(3)由题意知,x﹣1+=t(x2﹣2x+3)|x|
因为x≠0,且x≠1化简,得 t=
即 =|x|(x﹣1),
如图可知,﹣ < <0,
所以t<﹣4即为t的取值范围.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的首项a1= ,an+1= ,n=1,2,…
(1)求证:{ ﹣1}是等比数列,并求出{an}的通项公式;
(2)证明:对任意的x>0,an≥ ﹣ ( ﹣x),n=1,2,…
(3)证明:n﹣ ≥a1+a2+…+an> .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润如表所示:
体积(升/件) | 重量(公斤/件) | 利润(元/件) | |
甲 | 20 | 10 | 8 |
乙 | 10 | 20 | 10 |
在一次运输中,货物总体积不超过110升,总重量不超过100公斤,那么在合理的安排下,一次运输获得的最大利润为( )
A.65元
B.62元
C.60元
D.56元
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系中, 为极点,半径为2的圆的圆心坐标为.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)设直角坐标系的原点与极点重合, 轴非负关轴与极轴重合,直线的参数方程为(为参数),由直线上的点向圆引切线,求切线长的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平,在全市范围内进行了汉字听写考试,现从某校随机抽取了50名学生,将所得成绩整理后,发现其成绩全部介于之间,将其成绩按如下分成六组,得到频数分布表
成绩 | ||||||
人数 | 4 | 10 | 16 | 10 | 6 | 4 |
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估算该校50名学生成绩的平均值和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)以该校50名学生成绩的频率作为概率,试估计该市分数在的人数.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com