Question

20．已知定义在R上的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}-b}{{2}^{x}-a}$是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明．
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）在R上为奇函数便可得到$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-f（1）}\\{f（0）=0}\end{array}\right.$，这样便可求出a=-1，b=-1；
（2）先分离常数得到f（x）=$-1+\frac{2}{{2}^{x}+1}$，这样可看出x增大时，f（x）减小，从而可判断f（x）在R上为减函数，根据减函数的定义证明：设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，证明f（x₁）＞f（x₂）便得出f（x）在R上为减函数；
（3）根据指数函数的值域有2^x＞0，从而可以得到2^x+1＞1，这样便可得出$\frac{1}{{2}^{x}+1}$的范围，进一步便可得出f（x）的范围，即得出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）是定义在R上的奇函数，∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-f（1）}\\{f（0）=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-\frac{1}{2}-b}{\frac{1}{2}-a}=-\frac{-2-b}{2-a}}\\{\frac{-1-b}{1-a}=0}\end{array}\right.$；
解得a=-1，b=-1；
（2）$f（x）=\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}=\frac{-（{2}^{x}+1）+2}{{2}^{x}+1}=-1+\frac{2}{{2}^{x}+1}$；
∴x增大时，2^x增大，f（x）减小；
∴f（x）在R上单调递减，证明如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
又${2}^{{x}_{1}}+1＞0，{2}^{{x}_{2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上单调递减；
（3）2^x＞0；
∴2^x+1＞1；
∴$0＜\frac{1}{{2}^{x}+1}＜1$；
∴-1＜f（x）＜1；
∴f（x）的值域为（-1，1）．

点评 考查奇函数的定义，奇函数f（x）在原点有定义时，f（0）=0，分离常数法的运用，减函数的定义，根据减函数的定义判断并证明一个函数为减函数的方法和过程，指数函数的值域，根据不等式的性质求函数值域的方法．