Question

如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x₁，x₂∈D，x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）已知f（x）=ln（1+e^x）-x是定义域在R上的减函数，且A、B、C是其图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由题设条件右以判断函数f（x）是凹函数，然后用函数单调性的定义进行证明
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，由f（x）是x∈R上的单调减函数知f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），由此能够推导出＜B是钝角，所以△ABC为钝角三角形．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）是凹函数，证明如下：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)
=ln(1+ex1)+ln(1+ex2)-x1-x2-2[ln(1+e

x1+x2

2

)-

x1+x2

2

]
=ln(1+ex1)(1+ex2)-ln(1+e

x1+x2

2

)2
=ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)
∵ex1＞0，ex2＞0，且x1≠x2
∴ex1+ex2＞2

ex1ex2

=2e

x1+x2

2

∴1+ex1+ex2+ex1+x2＞1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2
∴ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)＞ln(2+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)
∴ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)＞0
∴f(x1)+f(x2)＞2f(

x1+x2

2

)∴f（x）是凹函数（7分）
（Ⅱ）证明：（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（（x₃，y₃），
且x₁＜x₂＜x₃，∵f（x）是x∈R上的单调减函数∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）
∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0
∴

BA

•

BC

＜0，∴cosB＜0，∠B为钝角
故△ABC为钝角三角形．（13分）

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．