Question

求曲线y=-x²+2x+3的点到直线x-y+4=0的最短距离．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,点到直线的距离公式

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：问题转化为平行线间的距离，联立直线与抛物线方程由△=0可得c值，可得距离．

解答： 解：平移直线x-y+4=0到与曲线y=-x²+2x+3相切可得直线l，
则直线x-y+4=0与直线l的距离即为所求最短距离，
由平行关系设l的方程为x-y+c=0，
联立

y=-x2+2x+3 x-y+c=0

消去y并整理可得x²-x+c-3=0，
由相切可得△=（-1）²-4×1×（c-3）=0，解得c=

13

4

，
∴平行线间的距离d=

| 13 4 -4|

2

=

3 2

8

∴曲线y=-x²+2x+3的点到直线x-y+4=0的最短距离为

3 2

8

点评：本题考查距离公式，涉及直线与抛物线的相切问题，属中档题．