【题目】已知函数f(x)= +lnx在(1,+∞)上是增函数,且a>0.
(1)求a的取值范围;
(2)求函数g(x)=ln(1+x)﹣x在[0,+∞)上的最大值;
(3)设a>1,b>0,求证: .
【答案】
(1)解:f(x)的导数为f′(x)=﹣ + ,
因为函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,
所以f′(x)=﹣ + ≥0在(1,+∞)上恒成立,
即x≥ 在(1,+∞)上恒成立,
所以只需1≥ ,
又因为a>0,所以a≥1
(2)解:因为x∈[0,+∞),所以g′(x)= ﹣1= ≤0
所以g(x)在[0,+∞)上单调递减,
所以g(x)=ln(1+x)﹣x在[0,+∞)上的最大值为g(0)=0
(3)解:证明:因为a>1,b>0,所以 >1,
由(1)知f(x)= +lnx在(1,+∞)上是增函数,所以f( )>f(1),
即 +ln >0,化简得 <ln ,
又因为 =1+ ,
由第(2)问可知g( )=ln(1+ )﹣ <g(0)=0,
即ln < ,
综上 得证
【解析】(1)求出函数的导数,由函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,所以f′(x)=﹣ + ≥0在(1,+∞)上恒成立,运用参数分离,求得最值即可;(2)求得g(x)的导数,求得单调性,即可得到最小值;(3)由(1)知f(x)= +lnx在(1,+∞)上是增函数,所以f( )>f(1),由第(2)问可知g( )=ln(1+ )﹣ <g(0)=0,化简即可得证.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值即可以解答此题.
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【题目】已知x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣ 成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(2)求使 + ﹣2的值为整数的实数k的整数值.
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: = , = ﹣ .
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【题目】已知函数f(x)=ex+ax﹣1(e为自然对数的底数). (Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】设集合A={x|(x﹣2m+1)(x﹣m+2)<0},B={x|1≤x+1≤4}.
(1)若m=1,求A∩B;
(2)若A∩B=A,求实数m的取值集合.
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【题目】一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥.在正常水位时,拱桥最高点距水面8m,拱桥内水面宽32m,船只在水面以上部分高6.5m,船顶部宽8m,故通行无阻,如图所示.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求正常水位时圆弧所在的圆的方程;
(2)近日水位暴涨了2m,船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,试问:船身至少降低多少米才能通过桥洞?(精确到0.1m, )
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【题目】点P在圆O:x2+y2=8上运动,PD⊥x轴,D为垂足,点M在线段PD上,满足 .
(1)求点M的轨迹方程;
(2)过点Q(1, )作直线l与点M的轨迹相交于A、B两点,使点Q为弦AB的中点,求直线l的方程.
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