Question

【题目】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．

（1）证明：B1M⊥平面ABM；
（2）求异面直线A1M和C1D1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB⊥面BCC1B1，BM面BCC1B1

∴AB⊥B1M①

∵B1M= ，BM= ，B1B=2

∴BM⊥B1M②

∵AB∩BM=B

∴由①②可知B1M⊥平面ABM．

（2）解：如图，因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角，

∵A1B1⊥面BCC1B1

∴∠A1B1M=90°

∵A1B1=1，B1M=

∴tan∠MA1B1=

即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为 ．

∴异面直线A1M和C1D1所成角的余弦值为 ．

【解析】（1）可根据题中条件计算得出AB⊥BM，BM⊥B1M然后再根据面面垂直的判定定理即可得证．（2）由于C1D1∥B1A1故根据异面直线所成角的定义可知∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角然后在解三角形MA1B1求出∠MA1B1的正切值即可得出结论．
【考点精析】通过灵活运用异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的判定，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．