Question

16．函数f（x）（x∈R）关于（-$\frac{3}{4}$，0）对称，且f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$）则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于x=$\frac{3}{2}$对称，（4）f（x）关于（$\frac{9}{4}$，0）对称，正确的有（1）（2）（3）（4）．

Answer 1

分析 由“f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$）可得周期为3，由“函数f（x）（x∈R）关于（-$\frac{3}{4}$，0）对称”可得y=f（x）的对称性，然后两者结合以及利用代数变换或图象变换对四个选项做出判断．

解答 解：∵对任意的x∈R，函数f（x）满足条件f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），∴f（x+3）=f（x+$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），∴f（x）的最小正周期是3，故（1）正确；
∵函数f（x）（x∈R）关于（-$\frac{3}{4}$，0）对称，∴f（-x-$\frac{3}{4}$）=-f（x-$\frac{3}{4}$），∴f（x）=-f（x-$\frac{3}{2}$）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），
∴y=f（x）是偶函数，故（2）正确；
∵f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），∴f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），∴f（-x+$\frac{3}{2}$）=-f（-x）=-f（x），∴f（x+$\frac{3}{2}$）=f（-x+$\frac{3}{2}$），∴f（x）关于x=$\frac{3}{2}$对称，故（3）正确；
∵函数f（x）（x∈R）关于（-$\frac{3}{4}$，0）对称，f（x）的最小正周期是3，∴f（x）关于（$\frac{9}{4}$，0）对称，正确．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．

点评 本题综合考查了抽象函数的奇偶性、周期性，因为没有具体的解析式，所以准确理解每个关系式的意义是解题关键，能结合图象理解的尽量结合图象，使问题直观化，具体化．