Question

已知函数f(x)＝x²＋ax－lnx，a∈R；

(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围；

(2)令g(x)＝f(x)－x²，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2) 存在a＝e²使得当x∈(0，e]时，g(x)有最小值3.

【解析】

试题分析：(1)在[1,2]上恒成立   （1分）

令h(x)＝2x²＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立       (2分)

得，.             （5分）

(2)假设存在实数a，使g(x)＝f(x)－x²，x∈(0，e]有最小值3

g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝         （6分）

①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减

∴g(x)_min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝ (舍去)                  (8分)

②当0<<e即a>时，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0

∴g(x)在(0，]上单调递减，在(，e]上单调递增     

∴g(x)_min＝＝1＋lna＝3，∴a＝e²满足条件              （11分）

③当≥e即0<a≤时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减

g(x)_min＝g(e)＝ae－1＝3

∴a＝> (舍去)                                    （13分）

综上所述，存在a＝e²使得当x∈(0，e]时，g(x)有最小值3.         （14分）

考点：函数导数判定单调性求最值

点评：第一小题已知函数在某一区间上是减函数得到结论，学生解题时容易忽略等号写成，第二问要分情况讨论极值点与区间(0，e]的关系从而确定在区间(0，e]上的单调性求出函数最值