Question

已知p：实数x满足

0＜x≤4 x2-2x-1＞0

，q：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（a＞0）
（1）当a=2，x=3时，试判断命题p∧q的真假
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）若a=2，x=3，分别求出p，q成立的等价条件，即可得到结论．
（2）若q是p的充分不必要条件，根据充分条件和必要条件的定义建立不等式关系即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2，x=3时，
∵x=3满足不等式组

0＜x≤4 x2-2x-1＞0

，∴p是真命题；----------------------------（2分）
∵x=3也满足x²-8x+12＜0，∴q也是真命题．
∴p∧q是真命题．--------------------------------------（4分）
（2）由

0＜x≤4 x2-2x-1＞0

得1+

2

＜x≤4，-------------------------------------------（6分）
由x²-4ax+3a²＜0得a＜x＜3a，--------------------------------------（8分）
∵p是q的充分不必要条件，知(1+

2

，4]是（a，3a）的真子集，
∴

a≤1+ 2 3a＞4

，---------------------------------------------------------------（10分）
得

4

3

＜a≤1+

2

-------------------------------------（11分）
∴实数a的取值范围为{a|

4

3

＜a≤1+

2

}----------------------------------------------（12分）

点评：本题主要考查基本逻辑用语，逻辑联结词以及充分必要条件，考查不等式解法及推理论证能力．