Question

已知关于x的不等式ax²-（a+1）x+b＜0
（1）若不等式的解集是{x|1＜x＜5}，求a+b的值；
（2）若a≠0，b=1，求此不等式的解集．

Answer 1

分析：（1）根据不等式的解集和对应方程之间的关系建立方程关系即可求解a，b的值；
（2）根据一元二次不等式的解法解不等式即可．

解答：解：（1）∵不等式的解集是{x|1＜x＜5}，
∴a＞0，且1和5是方程ax²-（a+1）x+b=0的两根，
∴1+5=-

-(a+1)

a

，且1×5=

b

a

，
解得a=

1

5

，b=1，
∴a+b=

6

5

．
（2）若a≠0，b=1，此不等式为ax²-（a+1）x+1＜0，
∴（ax-1）（x-1）＜0，
∴a(x-

1

a

)(x-1)＜0，
①若a＞1时，

1

a

＜1，此不等式解集为{x|

1

a

＜x＜1}，
②若a=1时，

1

a

=1，此不等式解集为￠，
③若0＜a＜1时，

1

a

＞1，此不等式解集为{x|1＜x＜

1

a

}，
④若a＜0时，

1

a

＜1，此不等式解集为{x|x＜

1

a

，或x＞1}．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，利用一元二次方程和一元二次不等式之间的关系是解决本题的关键对应含有参数的不等式要对参数进行讨论．