Question

设O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F₁PF₂=60°，|OP|=

7

2

a，则该双曲线的离心率为（　　）

• A．

  5

  2

• B．

  3

• C．2
• D．

  2

Answer 1

分析：利用双曲线的定义与余弦定理可得到a²与c²的关系，从而可求得该双曲线的离心率．

解答：解：设该双曲线的离心率为e，依题意，||PF₁|-|PF₂||=2a，
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF₁|•|PF₂|=4a²，
不妨设|PF1|2+|PF2|2=x，|PF₁|•|PF₂|=y，
上式为：x-2y=4a²，①
∵∠F₁P F₂=60°，
∴在△F₁P F₂中，由余弦定理得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF₁|•|PF₂|•cos60°=4c²，②
即x-y=4c²，②
又|OP|=

7

2

a，

PF1

+

PF2

=2

PO

，
∴

|PF1|

2+

|PF2|

2+2

|PF1|

•

|PF2|

×cos60°=4|

PO

|2=7a²，
即|PF1|2+|PF2|2+|PF₁|•|PF₂|=7a²，
即x+y=7a²，③
由②+③得：2x=4c²+7a²，
①+③×2得：x=6a²，于是有4c²=5a²，
∴

c2

a2

=

5

4

，
∴e=

c

a

=

5

2

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的定义与余弦定理的应用，得到a²与c²的关系是关键，也是难点，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．