Question

3．设a＞0，b＞0．若$\sqrt{3}是{3^a}与{3^b}的等比中项，则\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 3
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 2+$3\sqrt{2}$
• D． 3+$2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 $\sqrt{3}$是3^a与3^b的等比中项，可得a+b=1．利用$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$=3+$\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}$及其基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{3}$是3^a与3^b的等比中项，
∴3^a•3^b=$（\sqrt{3}）^{2}$=3，
∴a+b=1．
∵a＞0，b＞0．
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$=3+$\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}$≥3+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{2a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当b=$\sqrt{2}$a=$2-\sqrt{2}$时取等号．
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了等比数列的性质、变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．