Question

（1）已知f（x）为一次函数，f[f（x）]=2x-1，求f（x）的解析式．
（2）函数y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时f（x）=x²-2x-3，求函数y=f（x）的解析式．
（3）已知a，b为常数，若f（x）=x²+4x+3，f（ax+b）=x²+10x+24，求5a-b的值．

Answer 1

解：（1）设f（x）=ax+b，则f（f（x））=a（ax+b）+b=a²x+ab+b
∵f[f（x）]=2x-1，∴a²x+ab+b=2x-1
∴a²=2且ab+b=-1，解得a=，b=1-或a=-，b=1+
∴或
（2）∵y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，∴f（0）=0
下面求x＜0时函数解析式
设x＜0，则-x＞0
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3
∵y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴x＜0时函数解析式f（x）=-x²-2x+3
∴函数y=f（x）的解析式为
（3）∵f（x）=x²+4x+3
∴f（ax+b）=（ax+b）²+4（ax+b）+3=a²x²+（2ab+4a）x+b²+4b+3=x²+10x+24
∴，解得或
∴5a-b=2
分析：（1）运用待定系数法，设一次函数为f（x）=ax+b，代入已知后通过比较系数列方程求出a、b即可
（2）运用对称性求解析式，先确定f（0）=0，再设x＜0，利用奇函数性质和x＞0时f（x）=x²-2x-3，求出x＜0时函数解析式，最后将函数解析式合成分段函数
（3）运用待待定系数法，将ax+b代入f（x）=x²+4x+3，化简后比较系数，列方程求出a、b即可
点评：本题考察了求函数解析式的方法，待定系数法，对称性法，配凑法等，解题时要归纳解题规律，认清形式，准确选择恰当方法解决问题．