Question

15．设函数f（x）=ax²+（b-1）x+1（a＞0）的两个零点为x₁，x₂．
（1）若x₁＜2＜x₂＜4，求证：2a＞b；
（2）若|x₁|＜2，|x₁-x₂|=2，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件可得到$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=4a+2b-1＜0}\\{f（4）=16a+4b-3＞0}\end{array}\right.$，这样即可得出4a-2b＞0，从而得到2a＞b；
（2）根据韦达定理可判断出x₁，x₂同号，从而可以得到两种情况：①-2＜x₁＜0，-4＜x₂＜-2，从而有$\left\{\begin{array}{l}{f（-4）＞0}\\{f（-2）＜0}\end{array}\right.$；②0＜x₁＜2，2＜x₂＜4，从而有$\left\{\begin{array}{l}{f（2）＜0}\\{f（4）＞0}\end{array}\right.$，这样便可得出b的取值范围．

解答 解：（1）证明：根据条件得，$\left\{\begin{array}{l}{f（2）＜0}\\{f（4）＞0}\end{array}\right.$；
即$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b-1＜0}&{①}\\{16a+4b-3＞0}&{②}\end{array}\right.$；
∴①×（-3）+②得：4a-2b＞0；
∴2a＞b；
（2）∵${x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{a}＞0$；
∴x₁，x₂同号；
由|x₁|＜2，|x₁-x₂|=2得，-2＜x₁＜2，x₁-x₂=±2；
①若x₁-x₂=2，x₂=x₁-2∈（-4，0）；
∴x₁∈（-2，0），x₂∈（-4，-2）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-4）=16a-4b+5＞0}\\{f（-2）=4a-2b+3＜0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+5＞0}&{①}\\{-16a+8b-12＞0}&{②}\end{array}\right.$；
①+②得，4b-7＞0；
∴$b＞\frac{7}{4}$；
②若x₁-x₂=-2，x₂=x₁+2∈（0，4）；
∴x₁∈（0，2），x₂∈（2，4）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=4a+2b-1＜0}&{①}\\{f（4）=16a+4b-3＞0}&{②}\end{array}\right.$；
∴①×（-4）+②得，-4b+1＞0；
∴$b＜\frac{1}{4}$；
∴综上得，b的取值范围为$（-∞，\frac{1}{4}）∪（\frac{7}{4}，+∞）$．

点评 考查韦达定理，绝对值不等式的解法，以及不等式的性质．