Question

【题目】函数.

（1）若，，讨论函数的零点个数情况；

（2）若，对于，存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 当或时，函数 有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数没有零点；(2).

【解析】

（1）分离参数，将函数零点个数的问题，转化为函数图像交点的问题，通过求解函数单调性和值域，得出结论；

（2）分离参数，将能成立问题转化为函数值域的问题，再利用导数求解函数的值域即可.

（1）当时，，定义域为

令，即，等价于

令，则，令，解得

故当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

故.

又当趋近于0时，趋近于正无穷；

当时，，且趋近于0，

据此，画出函数的示意图如下：

结合图像，以及函数单调性可知：

当或时，函数 有一个零点；

当时，函数有两个零点；

当时，函数没有零点.

（2）当时，

存在,等价于存在, ，且

等价于存在时，能成立，

且存在使得能成立.

因为是单调减函数，故能成立，

等价于

即；

令，故

令，解得或(舍)

故当单调递减，当，函数单调递增

故，又，

因为，故当时，

故要使得当时，存在，使得成立

只需，又因为

故可得.