Question

已知集合A的全体元素为实数，且满足若a∈A，则∈A．
（1）若a=2，求出A中的所有元素；
（2）0是否为A中的元素？请再举例一个实数，求出A中的所有元素；
（3）根据（1）、（2），你能得出什么结论？

Answer 1

解：（1）a=2时，2∈A，则=∈A…（2分）
∈A，则=-∈A；-∈A，则=-3∈A；-3∈A，则=2∈A．
∴A中的元素有，-3，-，2（4分）
（2）0不是A中的元素，若0∈A，则=-1∈A，-1∈A，则无意义．（6分）
假设3∈A，则-∈A，∈A，-2∈A．…（8分）
（3）由（1）、（2）可得到的结论是若实数a∈A（a≠0，a≠±1），则∈A，-∈A，∈A．…（12分）
（未标明a≠0与a≠±1或掉一个扣1分；结论中-或掉一个扣1分）
分析：（1）由已知中若a∈A，则∈A，由a=2∈A，可得∈A，再由∈A，可得2∈A，进而得到A中的所有元素；
（2）根据已知中若a∈A，则∈A，令0∈A，可得-1∈A，根据此时中分母为0，式子无意义，即可得到结论；
（3）根据已知中若a∈A，则∈A，结合（1）的结论可得∈A，-∈A，∈A，而根据（2）的结论，可得要使，-，三式均有意义，应有a≠0，a≠±1．
点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据已知中若a∈A，则∈A，将已知条件代入进行递推是解答本题的关键，在（3）的解答中易忽略使，-，三式均有意义时，对a的限制，而不能得到满分．