Question

已知S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且满足 S_n=

1

2

a

2 n

+

1

2

an(n∈N*)．
（1）求 a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若 bn=n(

1

2

)an，数列{b_n}的前n项和为 T_n，试比较T_n与

21

16

的大小．

Answer 1

分析：（1）在S_n=

1

2

a

2 n

+

1

2

an(n∈N*)中，令 n=1解得a₁，令 n=2解得a₂，令 n=3解得a₃，令 n=4解得a₄，
（2）Sn=

an

2

+

1

2

a

2 n

，Sn-1=

an-1

2

+

1

2

a

2 n-1

两式相减得出数列{a_n}的递推关系式，再求解{a_n}的通项公式；
（3）由（2）可得a_n=n，则bn=n(

1

2

)an=

n

2n

，利用错位相消法求出T_n，再进行大小比较．

解答：解：（1）由Sn=

1

2

a

2 n

+

1

2

an(n∈N*)可得a1=

1

2

a

2 1

+

1

2

a1，解得a₁=1；
S2=a1+a2=

1

2

a

2 2

+

1

2

a2，解得a₂=2；
同理，a₃=3，a₄=4．
（2）Sn=

an

2

+

1

2

a

2 n

 ①，Sn-1=

an-1

2

+

1

2

a

2 n-1

②．①-②即得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由于a_n+a_n-1≠0，
所以a_n-a_n-1=1，又由（1）知a₁=1，故数列{a_n}为首项是1，公差是1的等差数列，故a_n=n．
（3）由（2）知a_n=n，则bn=n(

1

2

)an=

n

2n

，
故Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n，①，

1

2

Tn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n+n(

1

2

)n+1，②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1=1-

2+n

2n+1

，
故Tn=2-

2+n

2n

∴Tn+1-Tn=

n+1

2n+1

＞0
∴T_n随n的增大而增大．当n=1时，T1=

1

2

；当n=2时，T₂=1；
当n=3时，T3=

11

8

=

22

16

＞

21

16

，
所以n≥3时，Tn＞

21

16

．
综上，当n=1，2时，Tn＜

21

16

；当n≥3时，Tn＞

21

16

．

点评：本题考查数列的递推公式的直接与间接应用，通项公式求解，错位相消法数列求和，数列的函数性质．属于中档题．