Question

设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量

m

=(sinA+sinC，sinB-sinA)，

n

=(sinA-sinC，sinB)，且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若向量

s

=(0，-1)，

t

=(cosA，2cos2

B

2

)，试求|

s

+

t

|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据

m

⊥

n

推断出

m

•

n

=0，利用向量的基本运算求得sin²C=sin²A+sin²B-sinAsinB，利用正弦定理把角的正弦转化成边，代入余弦定理求得cosC的值，进而求得C．
（Ⅱ）根据

s

和

t

的坐标可求得|

s

+

t

|2的表达式，然后利用二倍角公式化简整理，利用A的范围和正弦函数的单调性求得|

s

+

t

|2的范围，进而求得|

s

+

t

|的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意得

m

•

n

=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0
即sin²C=sin²A+sin²B-sinAsinB
由正弦定理得c²=a²+b²-ab
再由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

∵0＜C＜π，∴C=

π

3

（Ⅱ）∵

s

+

t

=(cosA，2cos2

B

2

-1)=(cosA，cosB)
∴|

s

+

t

|2=cos2A+cos2B=cos2A+cos2(

2π

3

-A)
=

1+cos2A

2

+

1+cos( 4π 3 -2A)

2

=

1

4

cos2A-

3

4

sin2A+1
=-

1

2

sin(2A-

π

6

)+1
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

∴-

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1
所以

1

2

≤|

s

+

t

|2＜

5

4

，故

2

2

≤|

s

+

t

|＜

5

2

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，向量的基本运算，三角函数的基本公式．综合考查了学生对基础知识整体把握．