Question

在二项式（ax^m+bxⁿ）¹²（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．
（1）求它是第几项；
（2）求

a

b

的范围．

Answer 1

（1）设T_r+1=C₁₂^r（ax^m）^12-r•（bxⁿ）^r=C₁₂^ra^12-rb^rx^{m（12-r）+nr}为常数项，
则有m（12-r）+nr=0，即m（12-r）-2mr=0，∴r=4，它是第5项．
（2）∵第5项又是系数最大的项，
∴有

C 412 a8b4≥ C 312 a9b3 ①   c 412 a8b4≥  c 512 a7b5  ②

由①得a⁸b⁴≥

12×11×10

3×2

a⁹b³，
∵a＞0，b＞0，∴

9

4

b≥a，即

a

b

≤

9

4

．
由②得

a

b

≥

8

5

，
∴

8

5

≤

a

b

≤

9

4

．