Question

函数与函数g（x）=3a²lnx+b．
（I）设曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在公共点处的切线相同，且f（x）在x=-2e（e是自然对数的底数）时取得极值，求a、b的值；
（II）若函数g（x）的图象过点（1，0）且函数h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

解：（I）求导函数可得
∵f（x）在x=-2e（e是自然对数的底数）时取得极值
∴f′（-2e）=0
∴a=e
∴
∵曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，
∴
∴x₀=e或x₀=-3e（舍去），b=-
∴a=e，b=-；
（II）∵函数g（x）的图象过点（1，0），∴b=0
∵h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x=
∴h′（x）=x+
∵h（x）在（0，4）上为单调函数，
∴h′（x）=x+≤0或h′（x）=x+≥0在（0，4）上恒成立
当h′（x）=x+≤0在（0，4）上恒成立时，3a²≤-x²+6x在（0，4）上恒成立，∴a=0
当h′（x）=x+≥0在（0，4）上恒成立时，3a²≥-x²+6x在（0，4）上恒成立
∵y=-x²+6x在（0，4）上的最大值为9
∴a≥或
∴a的取值范围为{0}
分析：（I）求导函数，利用f（x）在x=-2e（e是自然对数的底数）时取得极值，可求得a=e，利用曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，建立方程组，可求b=-；
（II）先确定b，再利用h（x）在（0，4）上为单调函数，得出导函数小于等于0或大于大于0，利用分离参数法，即可求得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．