Question

已知椭圆内有一点A（1，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．
（1）求|PA|+|PF₁|的最大值、最小值及对应的点P坐标；
（2）求的最小值及对应的点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的定义表示出|PA|+|PF₁|，通过基本不等式求出的最小值，利用三点共线求出最大值，求出对应的点P坐标；
（2）利用他的第二定义表示，利用几何意义求出表达式的最小值及对应的点P的坐标．
解答：解：（1）如图1，2a=6，F₂（2，0），|AF₂|=，设P是椭圆上任一点，由|PF₁|+|PF₂|=2a=6，|PA|≥|PF₂|-|AF₂|，
∴|PA|+|PF₁|≥|PF₁|+|PF₂|-|AF₂|=，
等号仅当|PA|=|PF₂|-|AF₂|时成立，此时P、A、F₂共线．
由|PA|≤|PF₂|+|AF₂|，
∴|PA|+|PF₁|≤|PF₁|+|PF₂|+|AF₂|=，
等号仅当|PA|=|PF₂|+|AF₂|时成立，此时P、A、F₂共线．
建立A、F₂的直线方程x+y-2=0，
解方程组得两交点、．
综上所述，P点与P₁重合时，|PA|+|PF₁|取最小值，P点与P₂重合时，|PA|+|PF₂|取最大值．
（2）如图2，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a=3，c=2，
∴．由椭圆第二定义知，∴，
∴，
要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离．右准线方程为．
∴A到右准线距离为．此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P坐标．
点评：本题考查椭圆的定义以及第二定义的应用，表达式的几何意义的应用，考查转化思想与计算能力．