Question

如图，在△ABC中，

AB

•

AC

=0，|

AB

|=8，|

AC

|=6，L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
（1）求

AD

•

CB

的值．
（2）判断

AE

•

CB

的值是否为一个常数，并说明理由．

Answer 1

分析：法一：（1）由题意及图形，可把向量

AD

用两个向量

AB

，

AC

的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；
（2）将向量

AE

用

AD

与

DE

表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；
法二：（1）由题意可以以BC所在直线为X轴，DE所在直线为Y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出

AD

，

CB

的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；
（2）设E点坐标为（0，y）（y≠0），表示出向量

AE

的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可

解答：解：法1：（1）由已知可得

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，

CB

=

AB

-

AC

，
∴

AD

•

CB

=

1

2

(

AB

+

AC

)•(

AB

-

AC

)
=

1

2

(

AB

2-

AC

2)=

1

2

(64-36)=14
（2）

AE

•

CB

的值为一个常数∵L为L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
∴

DE

•

CB

=0，
故：

AE

•

CB

=(

AD

+

DE

)•

CB

=

AD

•

CB

+

DE

•

CB

=

AD

•

CB

=14
解法2：（1）以D点为原点，BC所在直线为X轴，L所在直线为Y轴建立直角坐标系，可求A（

7

5

，

24

5

），
此时

AD

=(-

7

5

，-

24

5

)，

CB

=(-10，0)，

AD

•

CB

=-

7

5

×(-10)+(-

24

5

)×0=14
（2）设E点坐标为（0，y）（y≠0），
∴

AE

=(-

7

5

，y-

24

5

)，
∴

AE

•

CB

=-

7

5

×(-10)+(y-

24

5

)×0=14（常数）．

点评：本题考查向量在几何中的应用，本题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量