Question

若实数x，y满足x²+4y²=4x，则S=x²+y²的取值范围是

[0，16]

．

Answer 1

分析：把S表示为关于变量x的二次函数，由y²≥0可求得x的范围，在x的取值范围内利用二次函数的性质即可求得其最值，从而得其范围．

解答：解：由x²+4y²=4x，得y²=

1

4

(4x-x2)，
由y²=

1

4

(4x-x2)≥0，解得0≤x≤4，
代入S=x²+y²得，S=x²+

1

4

(4x-x2)=

3

4

x2+x=

3

4

(x+

2

3

)2-

1

3

，x∈[0，4]，
S在[0，4]上单调递增，
当x=0时S取得最小值为0；当x=4时S取得最大值为16，
故S的取值范围为[0，16]．
故答案为：[0，16]．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查学生运用知识分析解决问题的能力，属中档题．