Question

已知平面上的两个定点O（0，0），A（0，3），动点M满足|AM|=2|OM|．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若经过点（

3

，2）的直线l被动点M的轨迹E截得的弦长为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x，y），直接利用条件求点的轨迹方程．
（Ⅱ） 求出圆心E到直线l的距离为d，根据弦长利用弦长公式求得直线l的斜率，从而得到直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），由条件|AM|=2|OM|得：

x2+(y-3)2

=2

x2+y2

，
化简整理，得：x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4．
（Ⅱ）设圆x²+（y+1）²=4的圆心E到直线l的距离为d，则d=

22-12

=

3

，
若直线l的斜率存在，设其为k，则l：y-2=k(x-

3

)，即kx-y+2-

3

k=0，
∴

|3- 3 k|

k2+1

=

3

，解得k=

3

3

，从而  l：x-

3

y+

3

=0．
当直线l的斜率不存在时，其方程为x=

3

，易验证知满足条件．
综上，直线l的方程为x=

3

，或x-

3

y+

3

=0．

点评：本题考查直接利用条件求点的轨迹方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，
注意考虑直线的斜率不存在的情况．