Question

下列命题中真命题的个数为（　　）
①函数y=sin2α+

1

sin2α

的最小值是4
②

6

+

11

＞

3

+

14

③函数y=x

1-x2

的最大值是

1

2

④当x＞0且x≠1时，lgx+

1

lgx

≥2．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①利用基本不等式进行判断．②先平方后证明不等式．③利用基本不等式判断．④当0＜x＜1时，lgx＜0，基本不等式条件不成立．

解答：解：①由基本不等式得y=sin2α+

1

sin2α

≥2

sin2α? 1 sin2α

=2，当且仅当sin2α=

1

sin2α

，即sin²α=1，所以sinα=±1时取等号，所以最小值为2，所以错误．
②(

6

+

11

)2=17+2

66

，(

3

+

14

)2=17+2

52

，因为66＞52，所以

6

+

11

＞

3

+

14

成立，所以②正确．
③要使函数有意义，则1-x²≥0，即x²≤1，-1≤x≤1，y=x

1-x2

≤|x|

1-x2

=

x2(1-x2)

，
因为x2(1-x2)≤(

x2+1-x2

2

)=

1

4

，当且仅当x²=1-x²，即x²=1时取等号，此时

x2(1-x2)

≤

1 4

=

1

2

，所以③正确．
④当0＜x＜1时，lgx＜0，所以④错误．
故正确的命题为②③．
故答案选B．

点评：本题主要考查了基本不等式的应用，注意基本不等式使用的条件．