Question

1．已知函数f（x）=x²-x+m，且f（log₂a）=m，log₂f（a）=2，（a≠1）．
（1）求a，m的值；
（2）当x∈[1，4]时，求f（log₂x）的最值及对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x）=x²-x+m，log₂f（a）=2，f（log₂a）=m，可构造关于a，m的对数方程，根据对数的运算性质，可将其化为整式方程，解答后可得a，m值；
（2）由f（x）=x²-x+m利用配方法可得f（log₂x）=（log₂x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，由二次函数的图象和性质及对数的运算性质可得x为何值时f（log₂x）有最值，及其最值．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-x+m，log₂f（a）=2，f（log₂a）=m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{a}^{2}-a+m）=2}\\{lo{{g}_{2}}^{2}a-lo{g}_{2}a+m=m}\end{array}\right.$，
由第二个式子，可得log₂a=0或log₂a=1，
又a≠1，故a=2，
代入①log₂（m+2）=2得m=2，
∴a=2，m=2；                                                  
（2）f（log₂x）=log₂²x-log₂x+2
=（log₂x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
由x∈[1，4]，即有log₂x∈[0，2]，
当log₂x=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{2}$时，函数有最小值，且为$\frac{7}{4}$；
当log₂x=2，即x=4时，函数有最大值，且为4．

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，对数的运算性质，对数方程，是函数与方程的综合应用，难度中档．