Question

已知p：关于x的方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，q：关于x的方程x²+mx+1=0的两实根都小于1，若p∧q是真命题，且￢（p∨q）是假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：根据二次方程根与判别式的关系，可求出p为真时m的取值范围，根据二次方程根与系数的关系，可求出q为真时m的取值范围，结合p∧q是真命题，且￢（p∨q）是假命题，可得实数m的取值范围

解答：解：∵?（p∨q）是假命题，
∴p∨q是真命题．
∵方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，
∴△=16（m-2）²-4×4＜0，
∴1＜m＜3，
∴p为真命题时，实数m的取值范围为A={m|1＜m＜3}．
构造函数f（x）=x²+mx+1．
∵方程x²+mx+1=0有两个小于1的实根，
∴

f(1)=m+2＞0 - m 2 ＜1 △=m2-4≥0

，
解得：m≥2；
∴q为真命题时，实数m的取值范围为B={m|m≥2}，
∴p∧q是真命题时，实数m的取值范围是：
M=A∩B={m|1＜m＜3}∩{m|m≥2}={m|2≤m＜3}；
p∨q是真命题时，实数m的取值范围是：
N=A∪B={m|1＜m＜3}∪{m|m≥2}={m|m＞1}，
∴p∨q是真命题，即?（p∨q）是假命题时，实数m的取值范围是：
M∩N={m|2≤m＜3}∩{m|m＞1}={m|2≤m＜3}，
综上所述，实数m的取值范围是[2，3）．

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了方程根的个数与判别式的关系及根与系数的关系，熟练掌握二次方程的相关知识点是解答的关键．