环保刻不容缓,或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张,且受工业污染严重,预计20年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64am2,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积am2,前四年每年以100%的增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加am2.设第n(n≥1,且n∈N))年新城区的住房总面积为anm2,该地的住房总面积为bnm2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若每年拆除4am2,比较an+1与bn的大小.
【答案】
分析:(1)分1≤n≤4时和n≥5时两种情况加以讨论并结合等差、等比数列的通项公式,分别求出第n年新城区的住房建设面积为λ
n关于n、a的表达式,再利用等差、等比数列的求和公式即可求出{a
n}的通项公式关于n的分段形式的表达式;
(2)根据1≤n≤3、n=4 和5≤n≤11时a
n+1和b
n的表达式,结合作差法比较不等式大小,可得a
n+1<b
n;而当 n≥12时可得a
n+1-b
n=(5n-59)a>0,从而得到a
n+1>b
n,最后加以综合即可得到a
n+1与b
n的大小的两种情况.
解答:解:(1)设第n年新城区的住房建设面积为λ
nm
2,则当1≤n≤4时,λ
n=2
n-1a;…(1分)
当n≥5时,λ
n=(n+4)a.
所以,当1≤n≤4时,a
n=(2
n-1)a
当n≥5时,a
n=a+2a+4a+8a+9a+…+n(n+4)a=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124247471714544/SYS201310251242474717145019_DA/0.png)
a
∴a
n=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124247471714544/SYS201310251242474717145019_DA/1.png)
(2)当1≤n≤3时,a
n+1=(2
n+1-1)a,b
n=(2
n-1)a+64a-4na,显然有a
n+1<b
n.
当n=4 时,a
n+1=a
5=24a,b
n=b
4=63a,此时a
n+1<b
n.
当5≤n≤16时,a
n+1=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124247471714544/SYS201310251242474717145019_DA/2.png)
,b
n=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124247471714544/SYS201310251242474717145019_DA/3.png)
∵a
n+1-b
n=(5n-59)a.
∴当5≤n≤11时,a
n+1<b
n;当12≤n≤16时,a
n+1>b
n.
当n≥17时,显然a
n+1>b
n故当1≤n≤11时,a
n+1<b
n;当 n≥12时,a
n+1>b
n.
点评:本题给出数列的实际应用题,求{a
n}的通项公式并比较a
n+1和b
n的大小.着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式,以及不等式比较大小等知识,属于中档题.