Question

设等差数列{a_n}满足：

sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6

sin(a4+a5)

=1，公差d∈（-1，0），若当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取最大值，则首项a₁的取值范围为

（

4π

3

，

3π

2

）

．

Answer 1

分析：利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a₁取值范围．

解答：解：由

sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6

sin(a4+a5)

=1，
得：

-cos2a3+(cosa3cosa6-sina3sina6)(cosa3cosa6+sina3sina6)

sin(a4+a5)

=1，
即

-cos2a3+cos(a3+a6)cos(a3-a6)

sin(a4+a5)

=1，
由积化和差公式得：

1 2 cos2a3+ 1 2 cos2a6-cos2a3

sin(a4+a5)

=1，
整理得：

1 2 (cos2a6-cos2a3)

sin(a4+a5)

=1，
∴

1 2 ×(-2)sin(a6+a3)sin(a6-a3)

sin(a4+a5)

-1，
∴sin（3d）=-1．
∵d∈（-1，0），∴3d∈（-3，0），
则3d=-

π

2

，d=-

π

6

．
由Sn=na1+

n(n-1)d

2

=na1+

n(n-1)•(- π 6 )

2

=-

π

12

n2+(a1+

π

12

)n．
对称轴方程为n=

6

π

(a1+

π

12

)，
由题意当且仅当n=9时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，
∴

17

2

＜

6

π

(a1+

π

12

)＜

19

2

，解得：

4π

3

＜a1＜

3π

2

．
∴首项a₁的取值范围是（

4π

3

，

3π

2

）．
故答案为（

4π

3

，

3π

2

）．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了与三角函数有关的公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力，是中档题．