Question

设函数f（x）=ax³-3ax，g（x）=bx²-lnx（a，b∈R），已知它们在x=1处的切线互相平行．
（1）求b的值；
（2）若函数，且方程F（x）=a²有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）和g（x） 在x=1处的切线互相平行得，f′（1）=g′（1），解方程求出 b 值．
（2）分别求出求出f（x）的极值和g（x）的极值，结合单调性画出F（x）的图象，结合图象可得若方程F（x）=a²有四个解，则 ＜a²＜2a，解不等式求得实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²-3a，∴f′（1）=0．∵g′（x）=2bx-，∴g′（1）=2b-1．
根据题意得 2b-1=0，∴b=．
（2）x∈（0，1）时，g′（x）=x-＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）=x-＞0，
所以，当 x=1时，g（x）取极小值 g（1）=．
因为a＞0，x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，x∈（-1，0）时f′（x）＜0，所以x=-1时，f（x）取得极大值
f（-1）=2a，又f（0）=0，所以F（x）的图象如下：

从图象看出，若方程F（x）=a²有四个解，则 ＜a²＜2a，解得  ＜a＜2，
所以，实数a的取值范围是 （，2）．
点评：本题考查导数的几何意义，求函数的极值的方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想，求出f（x）和g（x）的极值，是解题的关键和难点．