Question

【题目】若存在常数，使得数列满足对一切恒成立，则称为“可控数列”.

(1) 若数列的通项公式为，试判断数列是否为“可控数列”？并说明理由；

(2) 若是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

(3) 若“可控数列”的首项为2，，求不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)

Answer 1

【答案】(1) 为“可控数列”; (2) ;(3) 的不同取值个数是2018，最大值为2019

【解析】

（1）依据定义验证即可.

（2）利用为可控数列且单调递减得到，再利用累加法求得数列的通项为，分别讨论和时的极限后可得的大小.

（3）当为递增数列时， 最大且最大值为，当为递减数列时，最小且最小值值为，又必为奇数，故不同的取值个数为2018.

(1) ，.故为“可控数列”.

(2) 假设存在常数满足题意.

由是单调递减的“可控数列”，得.

累加，得.

当时，，不合题意.

当时，，.

令，得.

故的值为.

(3) 的不同取值个数是2018，最大值为2019.