已知圆C的圆心在坐标原点,且与直线相切
(1)求直线被圆C所截得的弦AB的长.
(2)过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线,切点分别为M,N求直线MN的方程
(3)若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P,Q,若∠POQ为钝角,求直线l纵截距的取值范围.
(1);(2);(3),且
解析试题分析:(1)先由点到直线距离公式求出原点到直线的距离即为圆C的半径,再写出圆C的方程;(2)先求出以G为圆心|GM|的方程,圆G的方程与圆C方程相减就是其公共弦MN所在的直线方程;(3)先根据直线的方程求出的斜率,由直线⊥,求出的斜率,设出的斜截式方程,将直线方程与圆C方程联立,消去y化为关于x的方程,设出,根据韦达定理将,用直线在y轴上截距b表示,由判别式大于0得到关于b的不等式,将∠POQ为钝角转化为,利用数量积的坐标运算,再列出关于b的不等式,这两个不等式联立就解出b的取值范围.
试题解析:(1)由题意得:圆心到直线的距离为圆的半径,
,所以圆的标准方程为: 2分
所以圆心到直线的距离 3分
4分
(2)因为点,所以,
所以以点为圆心,线段长为半径的圆方程: (1)
又圆方程为: (2),由得直线方程: 8分
(3)设直线的方程为:联立得:,
设直线与圆的交点,
由,得, (3) 10分
因为为钝角,所以,
即满足,且与不是反向共线,
又,所以 (4)
由(3)(4)得,满足,即, 12分
当与反向共线时,直线过原点,此时,不满足题意,
故直线纵截距的取值范围是,且 14分
考点:点的直线的距离公司;圆的标准方程;圆与圆的位置关系;直线与圆的位置关系;设而不求思想
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆关于直线对称,圆心在第二象限,半径为.
(1)求圆的方程;
(2)是否存在直线与圆相切,且在轴、轴上的截距相等?若存在,求直线的方程;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.以所在直线为轴,以所在直线为轴建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求所在直线的方程及新桥BC的长;
(Ⅱ)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
并求此时圆的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称.
⑴求圆C的方程;
⑵设Q为圆C上的一个动点,求的最小值;
⑶过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.
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