Question

15．若${（\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为$\frac{1}{32}$．

Answer 1

分析 利用通项公式即可得出．

解答 解：${（\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中的第4项T₄=${∁}_{n}^{3}$$（\sqrt{x}）^{n-3}（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{3}$=（-1）³$•\frac{1}{8}$${∁}_{n}^{3}$${x}^{\frac{n-5}{2}}$为常数项，
令$\frac{n-5}{2}$=0，
解得n=5．
取x=1，展开式的各项系数的和为=$（1-\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{32}$．
故答案为：$\frac{1}{32}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．