Question

已知圆M：（x-1）²+（y-1）²=4，直线l：x+y-6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C使得：∠BAC=60°，则点A的横坐标x₀的取值范围是

[1，5]

．

Answer 1

分析：从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，故可确定点A的横坐标x₀的取值范围．

解答：解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，
故问题转化为在直线上找到一点，使它到点M的距离为4．
设A（x₀，6-x₀），则∵M（1，1），∴（x₀-1）²+（5-x₀）²=16
∴x₀=1或5
∴点A的横坐标x₀的取值范围是[1，5]
故答案为：[1，5]

点评：本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角．