Question

9．在f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{a-b}+{x}^{a-c}}$+$\frac{1}{1+{x}^{b-c}+{x}^{b-a}}$+$\frac{1}{1+{x}^{c-a}+{x}^{c-b}}$中，取x≠0的一些特殊的值，均有f（x）=1，一般地，x≠0时，是否恒有f（x）=1？证明你的结论．

Answer 1

分析 令x^a-b=m，x^a-c=n，x^b-c=q，则x^b-a=$\frac{1}{m}$，x^c-a=$\frac{1}{n}$，x^c-b=$\frac{1}{q}$，代入f（x）化简即可得出结论．

解答 解：x≠0时，恒有f（x）=1，证明如下：
令x^a-b=m，x^a-c=n，x^b-c=q，则x^b-a=$\frac{1}{m}$，x^c-a=$\frac{1}{n}$，x^c-b=$\frac{1}{q}$，
∴f（x）=$\frac{1}{1+m+n}$+$\frac{1}{1+q+\frac{1}{m}}$+$\frac{1}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{q}}$=$\frac{1}{1+m+n}$+$\frac{m}{m+mq+1}$+$\frac{nq}{nq+q+n}$
=$\frac{（1+m+mq）（n+q+nq）}{（1+m+n）（1+m+mq）（n+q+nq）}$+$\frac{m（1+m+n）（n+q+nq）}{（1+m+n）（1+m+mq）（n+q+nq）}$+$\frac{nq（1+m+n）（1+m+mq）}{（1+m+n）（1+m+mq）（n+q+nq）}$
=$\frac{{m}^{2}n{q}^{2}+m{n}^{2}{q}^{2}+2{m}^{2}nq+2mn{q}^{2}+2m{n}^{2}q+6mnq+{m}^{2}n+{m}^{2}q+m{n}^{2}+{n}^{2}q+m{q}^{2}+2mn+2mq+2nq+n+q}{{m}^{2}n{q}^{2}+m{n}^{2}{q}^{2}+2{m}^{2}nq+2mn{q}^{2}+2m{n}^{2}q+6mnq+{m}^{2}n+{m}^{2}q+m{n}^{2}+{n}^{2}q+m{q}^{2}+2mn+2mq+2nq+n+q}$
=1

点评 本题考查了恒等式证明，计算量大，发现x^a-b与x^b-a等式子互为倒数是关键．