Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

(n∈N*)，则a₂₀₁₀的值为

 

．

Answer 1

分析：根据题意，底数小于1的指数函数符合题中条件，不妨令f（x）=(

1

2

)x，从而求得a₁=f（0）=1，再由 f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），得a_n+1=a_n+2，再由等差数列的定义求得结果．

解答：解：根据题意，不妨设f（x）=(

1

2

)x，（其中x∈R）；则a₁=f（0）=1，
∵f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），∴(

1

2

)an+1=

1

( 1 2 )-2-an

=(

1

2

)2+an，∴a_n+1=a_n+2；
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列；∴a_n=2n-1，∴a₂₀₁₀=4019．
故答案为：4019．

点评：本题考查了数列与函数的综合运用，本题中的条件满足底数小于1的指数函数，不妨用特殊值法来解答，可以提高解题效率．