Question

17、数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），λ是常数．
（1）当a₂=-1时，求λ及a₃的值；
（2）数列{a_n}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式，若不可能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用a₂的值列出关于λ的方程是解决本题的关键，求出λ的值，再根据a₂的值计算出a₃的值；
（2）先假设数列{a_n}可能为等差数列，利用该数列的前3项成等差数列，得出关于λ的方程，确定出λ的值，考查数列后面的项是否满足等差数列，从而肯定或者否定假设．

解答：解：（1）由于a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），且a₁=1，
所以当a₂=-1时，得-1=2-λ，
故λ=3．从而a₃=（2²+2-3）×（-1）=-3．
（2）数列{a_n}不可能为等差数列，证明如下：
由a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n，得
a₂=2-λ，a₃=（6-λ）（2-λ），a₄=（12-λ）（6-λ）（2-λ）．
若存在λ，使{a_n}为等差数列，则a₃-a₂=a₂-a₁，
即（5-λ）（2-λ）=1-λ，解得λ=3．
于是a₂-a₁=1-λ=-2，
a₄-a₃=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．
这与{a_n}为等差数列矛盾．
所以，对任意λ，{a_n}都不可能是等差数列．

点评：本题考查数列递推关系确定数列的问题，考查数列为等差数列的判定方法、探究性问题的解决思路，考查学生解决问题的方程思想、确定一个命题为假命题的方法．关键要进行问题的转化，考查学生的运算能力．