Question

8．（Ⅰ）已知${（\sqrt{x}+\frac{1}{{3{x^2}}}）^n}$的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3，求展开式中不含x的项；
（Ⅱ）求（1+x）²（1-x）⁵展开式中x³的系数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意有C_n⁴：C_n²=14：3．化简求得n=10．在通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得不含x的项．
（Ⅱ）把（1+x）²（1-x）⁵ 按照二项式定理展开，可得x³的系数．

解答 解：（Ⅰ）依题意有C_n⁴：C_n²=14：3．化简得（n-2）（n-3）=56，
解之得n=10或n=-5（不合题意，舍去）． 
设该展开式中第r+1项为所求的项，则由通项公式可得T_r+1=${C}_{10}^{r}$•${（\frac{1}{3}）}^{r}$•${x}^{\frac{10-5r}{2}}$，
令$\frac{10-5r}{2}$=0，求得r=2，可得不含x的项为第三项，且T₃=C₁₀²•3^-2=5．
（Ⅱ）∵（1+x）²（1-x）⁵ =（1+2x+x²）（1-C₅¹x+C₅²x²-C₅³x³+C₅⁴x⁴-x⁵），
∴x³的系数为：-C₅³+2C₅²-C₅¹=5．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．